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Schur-convexity of the weighted Čebyšev functional II

In this paper the weighted \v{; ; ; ; C}; ; ; ; eby\v{; ; ; ; s}; ; ; ; ev functional $T(p ; f, g ; a, b)$ is regarded as a function of two variables \begin{; ; ; ; equation*}; ; ; ; T(p ; f, g ; x, y)=\frac{; ; ; ; \int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)f(t)g(t)dt}; ; ; ; {; ; ; ; \int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)dt}; ; ; ; -\left(% \frac{; ; ; ; \int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)f(t)dt}; ; ; ; {; ; ; ; \int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)dt}; ; ; ; \right)\left(\frac{; ; ; ; % \int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)g(t)dt}; ; ; ; {; ; ; ; \int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)dt}; ; ; ; \right) , \, \, (x, y)\in[a, b]\times% [a, b] \end{; ; ; ; equation*}; ; ; ; where $f, g$ and $p>0$ are Lebesgue integrable functions. For a function \begin{; ; ; ; equation*}; ; ; ; K(p ; f, g ; x, y)=\left(\int_{; ; ; ; x}; ; ; ; ^{; ; ; ; y}; ; ; ; p(t)dt\right)^2 T(p ; f, g ; x, y) \, \, (x, y)\in[a, b]\times[a, b% ] \end{; ; ; ; equation*}; ; ; ; the property of Schur-covexity, Schur-geometric convexity, Schur-harmonic convexity and $(1, 1)$-convexity is proved.}; ; ; ; \end{; ; ; ; abstract}; ; ; ;

Convex functions; Schur-convex function; Čebyšev functional;

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